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Séminaire du LJLL
Bernard Di Martino (Université de Corse Pasquale Paoli, Corte)
On considère dans cet exposé les équations d’Euler hydrostatiques à surface libre, qui représentent l’écoulement d’un fluide de densité constante sur une surface non nécessairement plane. Ces équations servent à modéliser par exemple les écoulements dans une rivière ou dans un lac. Au cours de ces dernières années, plusieurs méthodes d’approximation des solutions de ces équations ont été proposées, par exemple à l’aide de modèles multicouches. Ces méthodes consistent à effectuer une approximation P0 ou P1 de la vitesse verticale dans chaque couche.
Si les résultats numériques sont satisfaisants au niveau de l’interprétation physique, il n’y a pas de résultat d’existence des solutions de ces équations dans le cas général. Le cas à une couche correspond aux équations de Saint-Venant et peut être traité par les méthodes classiques concernant les équations hyperboliques. Le cas à deux couches est déjà plus compliqué et des résultats ont été obtenus ces dernières années. A partir de trois couches, il est possible de mettre en évidence des configurations où le système n’est pas hyperbolique.
En reprenant les travaux de Teshukov, nous montrons qu’il est possible, grâce à une transformation géométrique astucieuse, de transformer le problème continu en un problème de type « hyperbolique » pour une notion d’hyperbolicité généralisée. Cette transformation est bijective sur un « petit » intervalle de temps si l’écoulement est régulier. L’étude du spectre associé à l’opérateur nous permet de donner des critères d’hyperbolicité pour le cas continu.
On s’intéresse ensuite à une version discrétisée de ces nouvelles équations. On montre que des valeurs propres complexes apparaissent naturellement dans la matrice de discrétisation et on donne quelques pistes sur leur évolution en fonction du nombre de couches.
Les résultats présentés ont été obtenus au sein du Laboratoire Jacques-Louis Lions (Sorbonne Université, Paris) et de l’équipe Ange de l’Inria dans le cadre de la thèse de Chourouk El Hassanieh, au cours d’un travail en collaboration avec Chourouk El Hassanieh, Edwige Godlewski, Julien Guillod et Jacques Sainte-Marie.
Diaporama du séminaire de Bernard Di Martino 01 mars 2024 – 2 Mo