Equations de diffusion linéaire, non-linéaire, et doublement non-linéaire comme flots de gradient dans l’espace de Wasserstein : quelques résultats grâce au schéma JKO

Séminaire du LJLL

Filippo Santambrogio (Université Claude Bernard – Lyon 1)

Le point de départ de l’exposé est la discrétisation temporelle d’un flot de gradient x'(t)= – DF(x(t)) par une suite de problèmes d’optimisation qui font apparaître la distance au carré. En se mettant dans l’espace des mesures de probabilités et en prenant la distance de Wasserstein, le schéma discret obtenu a été introduit par Jordan-Kinderlehrer-Otto, et est donc appelé JKO. On obtient de cette manière des évolutions de mesures dont j’expliquerai brièvement comment trouver l’EDP qu’elles résolvent (typiquement, une EDP de diffusion, celle de la chaleur dans le cas le plus simple, mais on peut obtenir aussi diffusion rapide et milieux poreux). Ensuite on remplacera le coût quadratique par un autre coût (par exemple une autre puissance de la distance) et on verra à nouveau quelles EDP on obtient (de type p-Laplacien parabolique, éventuellement doublement non-linéaire). Je présenterai aussi des calculs qui montrent simplement certaines propriétés de l’équation en utilisant le schéma JKO, et je montrerai également comment le même calcul dans le cas continu en temps serait beaucoup moins évident.