Théorie spectrale et méthodes variationnelles

E. Cancès & M. Lewin École Nationale des Ponts et Chaussées

Support de cours :

Sujets d'examens :

Examens

Thèmes abordés : La théorie spectrale des opérateurs auto-adjoints a de nombreuses applications en mathématiques, notamment dans le domaine des équations aux dérivées partielles (EDP). Dans ce cours, nous présenterons les détails de cette théorie, que nous illustrerons par divers exemples intervenant dans la théorie et la simulation numérique des EDP (Laplaciens de Dirichlet et de Neumann par exemple).

Dans une deuxième partie du cours, nous verrons que la combinaison de techniques spectrales et de méthodes variationnelles permet d'obtenir des résultats intéressants sur des problèmes elliptiques linéaires et non linéaires.

Nous illustrerons cette approche sur des problèmes issus de la mécanique quantique, extrêmement utilisés dans les applications. Nous étudierons en particulier l’équation de Schrödinger à N corps (EDP linéaire en dimension 3N), et ses approximations de champ moyen donnant lieu à une équation de Schrödinger non linéaire en dimension 3. Les éléments de base de la mécanique quantique seront présentés, mais aucune connaissance physique n'est requise pour suivre le cours.