EDP et modélisation

F. Legoll École Nationale des Ponts et Chaussées

Objectifs :

L'objectif de ce cours est de passer en revue un certain nombre de modèles importants issus des sciences de l'ingénieur, et de comprendre comment modéliser ces phénomènes grâce à des EDP. Il s'agit donc de faire le lien entre des phénomènes physiques fréquents dans les applications (diffusion, transport, ...) et la manière dont ceux-ci sont pris en compte dans un modèle mathématique. Nous présenterons donc les grandes classes de modèles (en s'en tenant à des exemples simples et concrets), et nous renvoyons à d'autres cours pour l'introduction du cadre mathématique nécessaire à leur analyse.

Thèmes abordés :

Le cours se compose de trois grandes parties.

La première partie est consacrée aux problèmes de diffusion, transport et réaction. Nous commencerons par l'origine microscopique (via le mouvement brownien) des phénomènes de diffusion. Ceci permettra d'obtenir l'équation de la chaleur. Ecrire le noyau de Green de cette équation permettra de comprendre ses effets dissipatifs et l'existence d'une "flèche du temps". Nous verrons ensuite des problèmes melant diffusion et transport (avec le cas particulier où le terme de transport domine). Les aspects régularisants de l'opérateur Laplacien seront ensuite mis en lumière. Cette première partie se terminera avec des exemples d'équations des ondes, et la mise en exergue des différences qualitatives entre ces modèles et les équations paraboliques telles que l'équation de la chaleur.

La seconde partie du cours est consacrée à la physique du continuum, en commençant par la notion de bilan physique (lois de conservation). On présentera les formalismes eulérien et lagrangien.

En utilisant le formalisme eulérien, on s'intéressera à divers éléments de mécanique des fluides: lois constitutives (fluides Newtoniens, fluides polymériques), adimensionalisation et régimes (nombre de Mach, nombre de Reynolds, système de Stokes), conditions aux limites (lois de paroi, ...).

En utilisant le formalisme lagrangien, on s'intéressera à divers éléments de mécanique des solides: élasticité, modèles avec coefficients aléatoires (pourquoi, comment?).

Dans la troisième partie, on abordera les modèles à l'échelle atomique, qui s'écrivent, dans un premier temps, sous la forme d'équations différentielles ordinaires, les équations de Newton. Nous verrons plusieurs formalismes (lagrangien, hamiltonien, ...) pour décrire ces équations. Nous montrerons comment l'introduction du formalisme de Liouville permet de prendre en compte les effets extérieurs, ce qui nous permettra d'aller vers les équations différentielles stochastiques (équations de Langevin) et les modèles cinétiques.

Plusieurs aspects de modélisation seront discutés tout au long du cours, en fonction des exemples considérés:

• signification physique des conditions aux limites
• réduction de modèles, passage d'un modèle à un autre dans certains régimes: en mécanique des fluides (équations de Saint-Venant, du système de Stokes à l'équation de Darcy, lois de paroi effectives, ...), en mécanique des solides (passage d'une modélisation atomistique à une modélisation de continuum), ...
• modélisation multi-physique, couplant différents modèles pouvant éventuellement être écrits dans des langages différents (interaction fluide-structure, ...)

Tout au long du cours, on montrera des simulations numériques pour illustrer le comportement des différents modèles.

Les séances de cours seront complétées par des interventions extérieurs, au cours desquelles des spécialistes de domaines particuliers (mécanique quantique, ...) non abordés dans le coeur du cours viendront présenter les aspects modélisation pertinents de leur discipline.