Analyse théorique et numérique des équations hyperboliques

Amaury Hayat et Alexandre Ern.

Les équations hyperboliques sont un type d'équations aux dérivées partielles qui caractérisent les phénomènes qui se propagent à vitesse finie. C'est le cas, par exemple, des fleuves, des ondes, du trafic routier et de nombreux flux en général. Elles sont présentes partout dans la nature et dans les applications humaines, de la mécanique à la physique en passant par l'économie. Ce cours est une introduction à leur étude d'un point de vue théorique et numérique.

D'un point de vue théorique, nous introduirons la notion d'hyperbolicité, puis les caractéristiques et leur utilisation pour déterminer des solutions. Nous verrons que, lorsque les équations sont non linéaires, il n'y a parfois pas de solutions classiques même lorsque la condition initiale est très régulière. Nous définirons ensuite les solutions faibles et nous nous intéresserons à la notion de chocs et à leur propagation selon les relations de Rankine-Hugoniot. Nous verrons que ces solutions ne sont pas uniques et, pour retrouver l'unicité, nous introduirons la notion de solution entropique. Nous étudierons cette notion d'abord dans le cas scalaire, puis dans le cas de systèmes d'équations hyperboliques.

D'un point de vue numérique, nous étudierons la notion de problème de Riemann et de schéma numérique conservatif. Dans un premier temps, nous mettrons ces notions en oeuvre dans un contexte de discrétisation en espace par des méthodes de différences finies et volumes finies et une marche ne temps de type Euler explicite. Cela nous conduira à des schémas classiques de la littérature comme le schéma de Godunov ou celui de Lax-Friedrichs. Puis, nous verrons comment étendre ces idées dans un contexte éléments finis. Enfin, nous étudierons quelques techniques permettant la montée en ordre des schémas tout en assurant que les solutions discrétes restent dans un ensemble admissible (p.ex. des densités positives, etc.)

Enfin, si le temps le permet, nous ferons une ouverture vers un problème de recherche concret: la modélisation et le contrôle du trafic routier.