Du fluide de Stokes aux suspensions de solides rigides : aspects théoriques et numériques

par Aline Lefebvre-Lepot et Flore Nabet

Objectifs :

L’objectif du cours est double :

• Dans une première partie, on se concentrera sur les équations de Stokes, modélisant des fluides visqueux incompressibles à bas nombre de Reynolds. On montrera comment les méthodes variationnelles permettent d’étudier ces équations.  On étudiera également la discrétisation du problème par éléments finis.
• Dans une second partie, on abordera le problème de la simulation de solides rigides dans un tel fluide de Stokes. On fera un tour d’horizon des difficultés théoriques et numériques que posent un tel problème : couplage fluide/solide, prise en compte d’un sous-domaine solide dans le domaine de calcul, gestion de la singularité générée quand les solides se rapprochent, gestion des contacts entre solides  (contacts inélastiques, avec ou sans friction).

Des illustrations numériques des différents schémas étudiés seront présentées.

Ce cours est une introduction à la modélisation et la simulation de systèmes formés de solides rigides immergés dans un fluide visqueux. Ceux-ci sont présents dans de nombreux champs d’application, incluant l’industrie (alimentation, cosmétiques, béton, plastiques renforcés…), la nature (lits de rivières, transport de sédiments, érosion de côtes…), l’écologie (retraitement des eaux usées…). Comprendre le comportement de ces systèmes est un domaine de recherche actif, présentant de nombreuses difficultés que l’on mettra en évidence.

Si l'on se concentre ici sur les solides en suspensions, les outils et méthodes présentés dans ce cours s'étendent à de nombreux  autres domaines de recherche : mécanique des fluides, les méthodes de résolution par éléments finis, optimisation sous contrainte...

Outils mathématiques utilisés : Equations de Stokes, formulations variationnelles, éléments finis, condition inf-sup, optimisation sous contrainte affine ou cônique, dualité, multiplicateurs de Lagrange, méthode de pénalisation.

Pré-requis :

Il est recommandé d’avoir de bonnes bases en analyse fonctionnelle. Des notions sur les formulations variationnelles pour les EDP, les éléments finis et/ou l’optimisation sont également recommandées. Ces notions seront rappelées pendant le cours, des références bibliographiques seront données si besoin.