Analyse d’edp non-linéaires issues de la géométrie : des applications harmoniques à la théorie de Yang-Mills

Paul Laurain Université de Paris et Ecole Normale Supérieure

Thèmes abordés :

L’invariance conforme joue un rôle important en physique et en géométrie : théorie conforme des champs, relativité générale, supraconductivité, surface de Riemann, champs de Yang- Mills. Dans ce cours on étudiera l’aspect analytique de certains de ces problèmes. Plus précisément, on s’intéressera à l’analyse d’EDP non-linéaires issues de problème conformément invariants : applications harmoniques, problème de courbure prescrite, Ginzburg-Landau et Yang-Mills.

On commencera par l’équation de courbure moyenne constante ce qui me permettra d’in- troduire les phénomènes de compacité par compensation, ensuite on développera la théorie via l’approche générale de Rivière [2]. Puis nous nous intéresserons au problème de Ginzburg- Laundau [3], que l’on peut considérer comme une version abélienne de Yang-Mills. Enfin, nous étudierons les travaux d’Uhlenbeck sur l’équation Yang-Mills et si le temps le permet on don- nera des applications géométriques [1].

Prérequis :

EDP elliptiques, géométrie différentielle (si possible Riemannienne).

Références :

[1] Daniel S. Freed and Karen K. Uhlenbeck. Instantons and four-manifolds, volume 1 of Mathematical Sciences Research Institute Publications. Springer-Verlag, New York, second edition, 1991.

[2] Tristan Rivière. Conformally invariant variational problems. 2012.

[3] Etienne Sandier and Sylvia Serfaty. Vortices in the magnetic Ginzburg-Landau model, volume 70 of Progress in Nonlinear Differential Equations and their Applications. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 2007.