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Les numéros des articles ci-dessous font référence à la numérotation de la partie Publications.

 

Modèles mathématiques en océanographie :

J'étudie le comportement asymptotique d'équations de la mécanique des fluides issues de l'océanographie. Il s'agit d'équations de type Navier-Stokes, incompressibles, avec un terme de pénalisation singulière antisymétrique dû à la force de Coriolis. Je m'intéresse plus spécifiquement à la formation des couches limites le long des parois (fonds marins et côtes). En collaboration avec Laure Saint-Raymond et Roberta Bianchini, je me suis également intéressée à la réflexion des ondes internes dans un fluide stratifié, lorsque l'angle d'incidence du paquet d'ondes est proche de l'angle critique.

Equation de Prandtl:

L'équation de Prandtl décrit le comportement d'un fluide faiblement visqueux et incompressible au voisinage d'une paroi. Avec Nader Masmoudi, nous nous sommes intéressés au phénomène de séparation dans la version stationnaire de cette équation, et nous avons démontré la validité de la singularité dite de Goldstein au point de séparation. J'ai également analysé une version de cette équation comportant un terme de rotation, en collaboration avec Matthew Paddick. Avec Helge Dietert, David Gérard-Varet et Frédéric Marbach, nous avons étudié le système de couche limite interactive, qui prend en compte le couplage avec le système d'Euler à un ordre de grandeur plus élevé que l'équation de Prandtl, et mis en évidence de fortes instabilités pour ce système (pires que celles qui apparaissent dans l'équation de Prandtl).

Modèles de rugosité en mécanique des fluides :

Il s'agit de comprendre l'influence d'une paroi rugueuse sur un fluide au contact de celle-ci. Les motivations physiques pour étudier ce type de phénomène sont nombreuses, allant de l'océanographie (effets des irrégularités des côtes sur les courants marins) à la microfluidique (minimisation de la friction lors du passage d'un fluide à l'intérieur d'un micro-tube, micromélanges). D'un point de vue mathématique, ces questions entrent dans le cadre de problèmes d'homogénéisation pour les modèles fluides. L'enjeu est donc de déterminer une "loi de paroi" pour le système limite, qui décrive l'influence des rugosités à une échelle grande devant la taille typique de ces rugosités.

 

 

Autres travaux :

• Phénomènes de congestion : Avec Charlotte Perrin, nous avons montré l'existence de fronts progressifs pour un modèle de congestion douce de type Navier-Stokes compressible avec pression singulière. Nous avons donné une description asymptotique des fronts progressifs et montré l'existence de solutions fortes globales au voisinage de ceux-ci.
• Comportement en temps long de lois de conservation scalaires : j'ai obtenu des résultats de stabilité pour les solutions stationnaires et les profils de choc de lois de conservation visqueuses ave flux périodique en espace. Ce thème fait suite à des recherches que j'avais effectuées pendant ma thèse. L'idée est que la dissipation induite par le terme de viscosité "force" la convergence vers un état stationnaire ou un choc, suivant la nature de la donnée initiale.
• Existence de solutions pour le système de Keller-Segel hyperbolique (en collaboration avec Benoît Perthame): le modèle de Keller-Segel décrit la réponse collective de populations de cellules à des signaux chimiques. Le système étudié ici se compose de deux équations : une loi de conservation hyperbolique non linéaire sur la densité de cellules, et dont le flux dépend du gradient de la concentration en chimio-attractant, et, d'autre part, une équation elliptique linéaire sur la concentration en chimio-attractant. L'existence de solutions de ce système est démontrée en passant à la limite dans un système approché de nature parabolique. La difficulté réside dans le manque de compacité sur la suite de solutions approchées, ce qui conduit à passer à la limite dans une formulation cinétique de l'équation. La convergence découle alors d'un résultat de rigidité pour les solutions du système limite.
• Formulation cinétique de lois de conservation scalaires hétérogènes : j'ai obtenu une fomulation cinétique pour des lois de conservation scalaires dont le flux dépend explicitement de la variable d'espace. Je démontre l'équivalence entre les formulations entropique et cinétique, ainsi qu'un principe de contraction auquel obéissent les solutions cinétiques de l'équation.

Thèse (soutenue le 08 octobre 2007) : Homogénéisation de lois de conservation scalaires et d'équations de transport

• Lors de ma thèse, j'ai étudié le comportement asymptotique de solutions d'une classe d'équations aux dérivées partielles avec des coefficients fortement oscillants. Dans un premier temps, je me suis intéressée à une famille d'équations non linéaires, des lois de conservation scalaires hétérogènes, qui interviennent dans divers problèmes de la mécanique des fluides ou de l'électromagnétisme non linéaire. On suppose que le flux de cette équation est périodique en espace, et que la période des oscillations tend vers zéro. Dans les articles 2, 3 et 4 pour le cas visqueux, et 7 pour le cas hyperbolique, j'ai démontré des résultats de convergence forte vers la solution du système limite. En particulier, l'article 3 est dédié à la description d'un phénomène de couche initiale en temps dans le cas visqueux, qui se forme lorsque la condition initiale ne suit pas le profil microscopique dicté par l'équation. Dans le cas hyperbolique (voir 7), le point remarquable tient à ce que le système limite n'est pas une loi de conservation, mais un système de nature intrinsèquement cinétique.

• Dans l'article 6, on considère une équation de transport linéaire, qui modélise l'évolution de la densité d'un ensemble de particules chargées dans un potentiel électrique aléatoire et très oscillant. J'ai mis en évidence l'apparition d'oscillations microscopiques en temps et en espace dans la densité, en réponse à l'excitation par le potentiel électrique. On donne également des formules explicites pour l'opérateur de transport homogénéisé lorsque la dimension de l'espace est égale à un.
  

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