Dans cette article, nous développons une méthode
qui permet de prouver des résultats de propagation de
l'analyticité pour des équations
conservatives non linéaires à partir de
l'observabilité linéaire. Pour
l'équation des onde
semi linéaires sur un domaine, nous prouvons ainsi que l'on
peut propager
l'analyticité depuis une zone satisfaisant la condition de
contrôle géométrique jusqu'à
tout l'espace. Un résulat similaire est obtenu pour
l'équation des plaques non linéaires sous la
condition d'observabilité de l'équation de
Schrödinger. La méthode s'inspire de techniques de
Hale-Raugel qui s'intéressaient à la
régularité de l'attracteur compact.
Dans cette note, nous prouvons que l'ensemble des solutions
nonradiatives (c'est-à-dire dont l'énergie
asymptotique à l'extérieur d'un cône
tronqué est nulle) de l'équation des ondes
nonlinéaires critiques forme une sous
variété dont l'espace tangent est les solutions
linéaires ayant la même
propriété. Ce dernier ayant
été décrit dans un article
précédent. La description de ces solutions
particulières
étaient utilisées dans le cas radial pour la
conjecture de résolution en solitons par
Duyckaerts-Kenig-Merle.
Dans cet article, nous prouvons le prolongement unique pour des
opérateurs de Schrödinger avec des coefficients
Gevrey 2 en temps. Cela relaxe l'hypothèse
d'analyticité des résultats
connus précédemment, en l'absence
d'hypothèse géométrique. La preuve
utilise de façon cruciale l'anisotropie et le rôle
différent joué par le temps et l'espace.
Dans cet article, nous établissons une correspondance entre
les
solutions de certaines équations elliptiques non
linéaires et les solutions non linéaires, par
leur
comportement asymptotique. Cela décrit une sorte
d'opérateur de scattering lorsque r tend vers l'infini. Nous
faisons une classification similaire près d'un point. Cette
classification est rendue posible par l'introduction d'espaces
analytiques adéquats pouvant distiguer chaque solutions
linéaires.
Dans cet article, nous prouvons la stabilisation pour un
systèmes nonlinéaires d'ondes
couplées. La stabilisation n'a lieu que sur une des deux
équations, ce qui oblige à utiliser le couplage.
Cet article étudie le temps optimal pour le
contrôle uniforme pour le transport à
viscosité
evenescente sur l'intervalle. Nous donnons des estimées
inférieures et supérieures pour le temps de
contrôle à coût uniforme en la
viscolsité dans certaines situation
géométriques.
Cet article donne des estimées inférieures et
supérieures précises pour l'observation de
fonctions propres semiclassiques sur un intervale. La
régularité demandées pour le potentiel
est limité. Les résultats sont utiles pour le
problème de contrôle uniforme pour le transport
à viscosité
evenescente.
Cet article étudie le comportement asymptotique des ondes
linéaires dans l'espace euclidien. Nous étudions
en particulier
l'énergie à l'extérieur du
cône et de ses translatés. Nous
décrivons en particulier, en dimension paire, les solutions
dont l'énergie est asymptotiquement nulle à
l'extérieur du cône translaté.
On étudie la décroissance de l'énergie
pour des équations de type ondes (Schrödinger ou
plaques) amorties où on a remplacé le Laplacien
par un opérateur somme de carrés. La
méthode de preuve est en fait abstraite et
générale. Elle fait le lien entre la
décroissance de
l'énergie pour des équations amorties et des
inégalités de
prolongement unique quantifié que l'on a obtenues dans nos
articles précédents.
On étudie l'observation (et donc le contrôle)
d'équations de transport dans la limite de
viscosité évanescente. Nous prouvons d'avord, par
une série d'exemples, que le temps pour avoir une
inégalité observabilité uniforme peut
être bien plus grand que le temps pour le contrôle
de l'équation de transport. En revanche, si on se restreint
à des soolutions positives sur une
variété compacte, ces deux temps
coïncident.
Cet article prouve la décroissance vers zéro pour
des
équations d'onde non linéaire dans le cas
où l'amortissement est supporté dans des zones
où la zone captée est petite. Cela traite en
particulier des exemples où la condition de
contrôle géométrique n'est pas
vérifiée et la décroissance du
semi-groupe linéaire est moins forte.
Cet article prouve la contrôlabilité locale
d'équations de la chaleur nonlinéaires en
dimension 1 d'espace. On prouve ainsi que l'espace atteignable contient
une boule de l'espace des fonctions analytiques. Les
résultats classiques utilisant Carleman prouvent le plus
souvent un contrôle à zéro. La
méthode utilisée est de résoudre un
problème de Cauchy en x dans des espaces de Gevrey et de
montrer une relation entre l'espace des jets en variable d'espace et en
variable temps. Cela peut s'apparenter à la
méthode de platitude.
Cet article traite du contrôle et de
l'observabilité pour
des systèmes d'équations d'ondes
couplés par des
termes d'ordre 1 ou 0. Nous prouvons que l'observabilité
haute
fréquence est équivalente à
l'observabilité
pour un système d'ODE le long de chaque
bicaractéristique. Combinée au prolongement
unique pour
les fonctions propres, cela donne l'observabilité pour le
système complet. Nous vérifions cette
hypothèse
sur quelques exemples typiques.
Nous nous intéressons à diverses constantes
liées
au coût du contrôle pour plusieurs
équations, en
particulier, l'équation de la chaleur. Nous prouvons des
bornes
inférieures et supérieures pour le coût
en temps
court dans certaines géométries. Nous prouvons en
particuler que certaines conjectures de Luc Miller sont fausses en
générales mais vraies pour des solutions
positives. Nous
donnons aussi des estimées uniformes pour une observation
sur
une petite boule.
Nous prouvons des estimées d'observabilité
approchée pour tous les opérateurs "somme de
carré" à coefficients analytiques satisfaisant
l'hypothèse de Hörmander. Les estimées
sont d'abord faites pour des solutions des ondes et ensuite
étendues à des fonctions propres puis
à des solutions de la chaleur. Les estimées
dépendent du nombre de crochets nécessaires pour
satisfaire l'hypothèse de Hörmander.
Nous prouvons le contrôle des hautes fréquences
pour un systèmé bilinéaire de
Schrödinger 1D avec contrôle par le potentiel.
L'hypothèse sur le potentiel est uniquement sur sa valeur au
bord. très faible.
Nous prouvons la contrôlabilité locale pour un
système de Schödinger-Poisson en 2D. Le
contrôle (bilinéaire) est sous la forme d'un
potentiel dont on peut contrôler les valeurs au bord. Cet
article fait le lien entre le contrôle bilinéaire
de ce système et les théorèmes connus
d'observabilité au bord de l'équation de
Schrödinger. On prouve au passage que l'on peut imposer un
contrôle à valeur réelle.
Dans cet article, nous donnons des preuves quantitatives (sans argument
par l'absurde ni d'analyse fonctionnelle) du
théorème de Bardos-Lebeau-Rauch de
l'observabilité des ondes sous l'hypothèse de
contrôle géométrique. Cela permet
d'obtenir des estimées sur les constantes d'observations et
donc du coût du contrôle.
Dans cet article, nous donnons des estimées quantitatives
des théorèmes de prolongement unique dans
le cas d'analyticité partielle des coefficients,
prouvés par Tataru, Robbiano-Zuily, Hörmander.
L'application principale est l'équation des ondes pour
laquelle on donne une estimée d'observabilité
dépendant de la fréquence typique de la solution,
ceci pour un ouvert d'observation arbitraire et en temps optimal.
Nous prouvons le contrôle en grand temps et la
stabilité globale pour l'équation de
Benjamin-Ono. Le terme de stabilisation impose de travailler au niveau
de régularité L^2 et donc d'utiliser le
changement de jauge de Tao. La propagation de l'information doit se
faire sur la nouvelle inconnue, ce qui impose de nouvelles
difficultés techniques.
Dans cet article de survey, on présente des
résultats déjà connus sur le
contrôle interne de l'équation de
Schrödinger. On donne une preuve autocontenu de la
contrôlabilité en dimension 1 à partir
de résultat de propagation de la compacité. On
discute ensuite comment étendre ces résultats
à une variété compacte où
la zone de contrôle vérifie la condition de
contrôle géométrique. On discute aussi
des résultats connus lorsque cette condition n'est pas
vérifiée. On présente ensuite les
liens entre la contrôlabilité et des
inégalités de résolvante. Finalement,
on discute des difficultés nouvelles pour
l'équation de Schrödinger Non Linéaire.
Dans cet article, on prouve la contrôlabilité pour
des équations des ondes semilinéaires avec des
nonlinéarités de type f(x,u) qui peuvent produire
des états d'équilibre non triviaux. Lorsque le
seul état d'équilibre est zero, la
stratégie habituelle consiste à utiliser un terme
d'amortissement pour faire converger la solution vers 0 et ensuite
utiliser un contrôle local vers 0. Ici, on utilise le fait
que l'équation amortie converge vers un attracteur global
compact. On utilise ensuite la connexité de l'attracteur
pour "voyager" à travers celui-ci.
Dans cet article, on prouve la décroissance exponentielle de
l'équation des ondes
semilinéaires avec un amortissement actif dans une zone
satisfaisant seulement
la condition de contrôle géométrique.
La nonlinéarité est supposée
sous-critique,
défocalisante et analytique. La principale
nouveauté par rapport aux résultats
précédents est la preuve d’un
résultat de
prolongement unique en grand temps pour
une solution non amortie. L’idée est
d’utiliser un effet régularisant asymptotique
prouvé par Hale et Raugel dans le contexte des
systèmes
dynamiques. Ensuite, une
fois l’analyticité en temps prouvée, on
applique un théorème de prolongement unique
avec analyticité partielle dû à
Robbiano, Zuily, Tataru et Hörmander. Des applications
à la contrôlabilité et à
l’existence d’attracteur global compact pour
l’équation
des ondes sont aussi données.
Dans cet article, on étudie l'opérateur de
Laplace-Beltrami pour des surfaces presques Riemanniennes. La
métrique est donnée localement par une paire de
champs de vecteurs qui peuvent devenir colinéaires mais
vérifient la condition de
Hörmander. On
étudie le cas où la
métrique présente des
dégénérescences de type Grushin.
Dans ce cas, l'opérateur
de Laplace-Beltrami naturellement
défini
sur les zones Riemanniennes a ses
coefficients qui explosent
près de l'ensemble singulier. On
prouve que cet opérateur est
essentiellement autoadjoint.
Une des conséquences notables
est que, par exemple, pour
l'équation de Schrödinger, une particule quantique
ne peut pas passer l'ensemble singulier alors que
les
géodésiques le traversent.
On étudie aussi le cas Martinet.
Dans cet article, on étudie la stabilisation et le
contrôle interne de l'équation de Klein-Gordon
critique sur
des variétés de dimension 3. Sous des conditions
géométriques légèrement
plus fortes que la condition de
contrôle géométrique classique, on
prouve la décroissance exponentielle de solutions
bornées dans l'espace
d'énergie mais petites dans des normes plus faibles. La
preuve combine la décomposition en profi ls et
des arguments microlocaux. Cette décomposition, analogue
à celle de Bahouri-Gérard sur R^3,
nécessite
l'analyse de certains effets dus à la
géométrie. Elle utilise des résultats
de S. Ibrahim sur le
comportement d'ondes de concentration sur les
variétés.
On considère le contrôle bilinéaire en
dimension 1 pour les équations de Schödinger et des
ondes
linéaires et non linéaires. Grâce
à un effet
régularisant, on prouve le contrôle par un
théorème
d'inversion locale classique, sans utiliser le
théorème de
Nash-Moser. Les espaces sont optimaux et il n'y a pas de restriction
sur
le temps.
On
prouve la contrôlabilité interne en grand temps
pour
l'équation de KdV en domaine périodique. On
obtient la stabilisation dans toutes les normes H^s, s\geq 0. De plus,
l'utilisation d'un autre terme de stabilisation dépendant du
temps nous permet d'obtenir un taux de décroissance
exponentielle arbitraire.
Dans
ce papier, on s'intéresse à la
controllabilité en grand temps de
variétés de dimension 3 : T^3, S^3, S^2*S^1. On
le montre de deux manières différentes : par
stabilisation puis contrôle local ou par contrôles
successifs
près de trajectoires. Pour le contrôle
près de trajectoire, à norme H^1
bornée, on n'a besoin que de petitesse en norme L^2.
Les hypothèses géométriques sont
principalement le contrôle géométrique
et le prolongement unique. On donne des exemples d'ouverts
vérifiant ces hypothèses. On montre une certaine
forme d'optimalité de cet ouvert pour S^3.
On prouve la controllabilité interne globale de NLS en grand
temps. Pour cela, on associe la stabilisation avec un
contrôle
près de 0. On utilise les espaces de Bourgain pour
descendre à la régularité L^2. On
prouve aussi
que le contrôle construit est régulier si les
données le sont, avec seulement des hypothèses de
taille
en norme L^2.
