Liste des thèmes de recherche d'Yvon MADAY
Méthodologies
Analyse numérique des méthodes spectrales et d'éléments finis
Méthode des joints
Méthodes de décomposition de domaine
Discrétisation en temps pararéelle
Les architectures parallèles annoncées (la plus importante, au Laboratoire national de Oak Ridge du département américain de l’énergie, étant proposée par Cray, elle sera constituée de 24 000 quadripro), les machines Blue Genes qui sont réparties un peu partout sur la planète (la plus grosse ayant plus de 130 000 nœuds) ainsi que la machine qui devrait bientôt être commandée au CINES ont un nombre de processeurs que les méthodes classiques de décomposition de domaine ou de partitionnement des tâches auront du mal à utiliser dans leur intégralité avec la même efficacité que des machines plus petites. Il est donc crucial de définir des approches de parallélisation complémentaires. En effet, pour un problème modélisé par exemple par une équation aux dérivées partielles et une discrétisation donnée, la multiplication des processeurs entraîne une diminution de la tâche allouée à chaque processeur ; le rapport entre coût local et coût de communication (interprocesseur ou avec la mémoire) diminue donc fatalement rendant la décomposition moins efficace.
La parallélisation dans la direction temporelle, pourtant fondamentale pour les gros systèmes différentiels, n’est actuellement pas suffisamment considérée. L’algorithme pararéel en temps a été introduit pour cet usage. Pour cet algorithme, on a déjà pu démontrer des potentialités intéressantes, tant pour la résolution simple de problèmes instationnaires, que lors de la combinaison avec d’autres approches itératives (décomposition de domaine, itérations de contrôle…).
L’objectif de ce projet est d’augmenter de façon significative la recherche dans ce domaine et plus particulièrement de porter l’algorithme en temps pararéel sur des architectures parallèles et pour la résolution de problèmes de plus larges classes.
Méthode de bases réduite pour l'approximation d'edp : estimation a posteriori et traitement des termes non linéaires
De nombreux problèmes rencontrés dans l'industrie font intervenir des paramètres qu'il convient d'optimiser (pour améliorer les performances) de découvrir (pour les problèmes inverses) ou de supporter (aléas inhérents ou dus au fournisseurs). Les solutions correspondant à la variation de ces paramètres décrivent un ensemble qui, s'il était connu, simplifierait notablement la tâche de leur recherche. Sans être connu, cet ensemble de solution a néanmoins très souvent une très petite complexité au sens ou avec peu d'éléments bien choisi dans cet ensemble on peut, par combinaison linéaire, représenter l'ensemble total à une tolérance près. Cette notion est formalisée sous le nom de épaisseur de Kolmogorov et, quand elle est petite, on a une assez bonne connaissance de l'espace entier par un très petit nombre de solutions particulières.
La recherche de ces solutions particulières représentatives peut se faire de plusieurs manières: soit par une méthode de décomposition propre orthogonal (POD) soit par des algorithmes gloutons (qui, contrairement à leur nom sont moins coûteux) qui nécessite la notion d'indicateur d'erreur a posteriori. La méthode des bases réduites sont des méthodes d'approximation, alternatives à des méthodes plus classiques, qui utilisent cette représentation avec peu de degrés de libertés. Si, pour des problèmes aux dérivées partielles linéaires elliptiques une méthode de Galerkin peut facilement être mise en oeuvre, dans les cas plus généraux, des ingrédients comme l'interpolation sur des bases réduites doivent également être invoqués pour que les calculs puissent être conduit, en ligne, avec une faible complexité. Il convient de noter la distinction "en ligne" et "hors ligne.
Pour que cette méthode puisse être mise en oeuvre "raisonnablement" il faut en effet distinguer deux temps : le premier, ou les ressources de calcul et de temps sont grandes, ou la méthode va être construite (en dehors de la définition intellectuelle de la méthode) en particulier les bases vont être construites, et un certain nombre de matrices vont être assemblées, c'est là qu'une méthode classique doit être utilisée. Le second ou l'on va devoir répondre rapidement à plusieurs problèmes du même type ou plusieurs jeux de coefficients devront etre testés. Pour les problèmes non linéaires, des méthodes d'interpolation ad'hoc doivent être introduites pour rendre les calculs "en ligne" compétitifs.
Applications
Phénomènes d'interaction fluide-structure
Modélisation et simulation d'écoulement biologiques
Méthodes numériques en chimie quantique