THESE
présentée à
L'UNIVERSITE PARIS VI UFR 921
pour obtenir le titre de
DOCTEUR DE L'UNIVERSITE PARIS VI
Spécialité
MATHEMATIQUES
par
Anabelle ZEBIC
Sujet de la thèse :
CONDITIONS DE FRONTIERE EQUIVALENTES EN ELECTROMAGNETISME
Soutenue le 23 juin 1994 devant le jury composé de :
| MM. | Claude | BARDOS | Président |
| Olivier | PIRONNEAU | Directeur | |
| Jacques | BLUM | Rapporteurs | |
| Jacques | PERIAUX | ||
| Patrick | JOLY | Examinateurs | |
| Mme | Mireille | LEVY |
Résumé : Les études présentées ici concernent la diffraction d'une onde harmonique par un obstacle bidimensionnel revêtu d'une couche mince d'un matériau composite, lorsque la longueur d'onde reste grande vis à vis de l'épaisseur de la couche. Afin de pallier aux problèmes liés à la modélisation numérique du revêtement, nous proposons de simuler celui-ci par une Condition aux Limites Equivalente (C.L.E.) que nous donnons à l'ordre 1 et à l'ordre 2. Dans la première partie, nous posons le problème de façon mathématique et numérique et présentons la méthode de résolution choisie (ceci pour simplifier, dans le cas d'un obstacle sans revêtement). Cette dernière est basée sur une méthode itérative dans des sous-espaces de Krylov, la méthode GMRES linéaire. Nous étudions en particulier une série de préconditionneurs pour cette méthode visant à accélérer la convergence de notre solveur. Dans la deuxième partie, nous présentons une approche basée sur une méthode de décomposition de domaines pour établir une C.L.E. d'ordre 1 sur une frontière artificielle proche de l'obstacle. Les résultats des diverses expériences numériques alors présentées démontrent la précision de l'efficacité de la C.L.E. obtenue. Ils permettent ainsi de valider la méthode proposée. Dans la troisième partie, nous montrons comment établir une C.L.E. d'ordre 2 simulant les effets du revêtement d'un obstacle circulaire. La méthode présentée ici s'appuie sur des techniques d'homogénéisation. Le principe de base est de considérer que la solution du problème peut être approchée par un développement asymptotique d'ordre 2 dont chacun des termes est fonction de deux types de variables : une microscopique et une macroscopique. Là aussi, tous les résultats numériques obtenus ont révélé un excellent comportement de la C.L.E. établie.
Mots-clés : Equation de Helmholtz - Condition aux Limites Equivalente - Revêtement composite - Méthode GMRES linéaire - Diffraction - Homogénéisation - Condition aux limites artificielle - Opérateur de préconditionnement.