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\title{Travail pour le 22 novembre 2019}
\author{F. hecht}
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\begin{document}
\maketitle
\section*{Résolution d'une EDP par la méthode des différences finis avec la méthode du Gradient conjugué}


Le but est de résoudre numériquement l' équation suivante:

Trouver $u$ une fonction régulière de $\Omega=]0,1[$ dans $\mathbb{R}$ tel que
\begin{equation} -\Delta u = f , \qquad \mbox{dans}\quad \Omega\label{eq:lap} \end{equation}
et telle que $u$ soit nulle sur le bord du carré $\Omega$ et où  l'opérateur $ \Delta$ est défini par $\Delta  u = \frac{\partial^2 u}{\partial x^2}  $.

\bigskip
Pour cela nous utiliserons une méthode aux différences finis.
Nous allons calculé une approximation de la  fonction $u$  aux points   $x_{n} $,
noté $u_{n}$, où les points  $x_{n}$  sont $ (h_1 n)$ avec 
$ h_1 = 1/N$  pour $n= 0, ..., N,$ 

Le schéma aux différences finis pour approcher $\Delta$ par  $\Delta_d$ au 
 point interne $x_{n}$  (c'est-à-dire $ n$ différent de $0$ ou $N$ ) , c'est à dire:
$\forall  (n) \in \{1,...,N-1\} $ on a:
\begin{equation}
-\Delta_d u_{n} =  -\frac{u_{n-1}+u_{n+1}-2 u_{n}}{ h_1^2}  = f(x_{n}). 
\end{equation}

 

Afin utiles les méthodes décrites en cours 
\begin{enumerate}
\item Ecrire une classe \texttt{MatLapDF1}  qui modélise la matrice des équation (1) en vous inspirant de la classe \texttt{MatFullRowMaj} .
\item Ecrire un programme principal que calcul et valide votre programme avec une solution manufacturée.

\end{enumerate}


\end{document}  