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Séminaire du LJLL
Amaury Hayat (Ecole Nationale des Ponts et Chaussées, Champs sur Marne)
Stabilisation d’EDP, embouteillages, et IA pour les mathématiques
La théorie du contrôle consiste à se poser la question : si on peut agir sur un système, que peut-on lui faire faire ? L’un des principaux problèmes est le problème de stabilisation : comment agir sur un système en fonction de l’état observé pour garantir un comportement à long terme de ses solutions ? Cela conduit à trouver ce qu’on appelle un contrôle feedback.
Dans cet exposé, nous allons étudier ce problème sous trois angles. Nous allons d’abord regarder le problème de stabilisation des EDP sous un angle abstrait et présenter une approche appelée F-equivalence (ou parfois Fredholm backstepping). Le principe est simple : au lieu d’essayer directement de trouver un contrôle feedback qui rend le système stable, on cherche à trouver un contrôle feedback qui permet de transformer le système considéré en un système plus simple, pour lequel la stabilité est déjà connue. On reviendra sur les progrès qui ont été permis ces deux dernières années avec cette méthode.
Dans un deuxième temps, nous parlerons d’un problème plus concret : la stabilisation d’équations hyperboliques modélisant le trafic routier. Nous montrerons comment des concepts mathématiques abstraits, comme les solutions entropiques, peuvent avoir des impacts tangibles dans des scénarios réels, et nous discuterons de l’application à la régulation du trafic et à la réduction des accordéons dans les embouteillages.
Enfin, nous discuterons des avancées récentes dans le domaine de l’IA pour les mathématiques et, en particulier, comment entrainer une IA à avoir une intuition mathématique pour aider à résoudre des problèmes. Si le temps le permet, nous nous éloignerons un peu de la stabilisation pour discuter des progrès récents en preuve automatique à l’aide de méthodes d’IA.