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Jean Bernard Lasserre (Laboratoire d’Analyse et d’Architecture des Systèmes, Toulouse)
La fonction de Christoffel : Applications, connections et extensions
Nous commencerons par une brève introduction à la fonction de Christoffel (en abrégé CF).
Une raison et notre motivation pour considérer cet outil est qu’étonnamment, et bien qu’il soit connu depuis longtemps en théorie de l’approximation et des polynômes orthogonaux, ce n’est que récemment que ses propriétés remarquables se sont avérées être très utiles en analyse et fouille de données, par exemple pour l’inférence de support, la détection d’outliers (valeurs aberrantes) et l’approximation de densité. Mais de plus :
— une utilisation non-standard de la CF permet l’interpolation de fonctions discontinues sans phénomène de Gibbs,
— une modification (ou {régularisation}) de la CF permet aussi d’approcher (asymptotiquement) la densité inconnue de la mesure associée à la CF, en évitant l’apparition de la mesure d’équilibre du support (généralement inconnue).
Nous terminerons en mettant en évidence certaines connections de la CF avec des domaines apparemment non reliés, par exemple des certificats de positivité en géométrie algébrique réelle, l’équation polynomiale de Pell, et la mesure d’équilibre d’un compact.