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Séminaire du LJLL
Laura Kanzler (Sorbonne Université, Paris)
Lors de l’étude des équations cinétiques (qui décrivent le mouvement et l’interaction d’un système de particules), il est classique de considérer, car elles sont plus faciles à analyser, les équations macroscopiques qui décrivent l’évolution des quantités conservées (par exemple la masse) du système de particules considéré, une fois effectuée une mise à l’échelle appropriée. Pour des particules dont la densité à l’équilibre est à décroissance rapide à l’infini (par exemple pour une distribution gaussienne), l’équation macroscopique obtenue est une équation de diffusion classique. Si la densité à l’équilibre a une décroissance lente (de type algébrique), il a été démontré, pour les équations où une seule quantité est conservée, qu’après une mise à l’échelle appropriée on obtient une équation de diffusion fractionnaire, c’est à dire une équation de diffusion non-locale avec un Laplacien fractionnaire.
Dans cet exposé, je présenterai une extension de ces résultats au cas où les équations cinétiques linéaires considérées conservent non seulement la masse, mais aussi la quantité de mouvement et l’énergie. Après des mises à l’échelle appropriées, on obtient à la limite un système d’équations de diffusion classiques pour les quantités conservées si la densité à l’équilibre est à décroissance suffisamment rapide à l’infini. Dans le cas où la décroissance de la densité à l’équilibre est plus lente, on obtient des équations de diffusion fractionnaires pour la masse et pour l’énergie, tandis que l’équation pour la quantité de mouvement est triviale. Les démonstrations reposent sur de l’analyse spectrale et des estimations d’énergie. Elles sont constructives et fournissent des taux de convergence explicites.
Les résultats qui seront présentés dans cet exposé sont le fruit de travaux en collaboration avec Emeric Bouin (Université Paris Dauphine) et Clément Mouhot (Université de Cambridge).