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Séminaire du LJLL
Geoffrey Beck (Inria Rennes)
Un modèle linéaire de cascade turbulente
La turbulence d’onde partage avec la turbulence hydrodynamique trois caractéristiques clefs : les échelles multiples, l’aléa et la présence de cascades. Le phénomène de cascade caractérise le transfert d’énergie injectée à une grande échelle par une excitation aléatoire vers les petites échelles en générant de la rugosité. Ainsi, même si les données sont régulières, les solutions dans un régime turbulent deviennent irrégulières et multi-échelles. Ce phénomène fut longtemps associé à la non-linéarité des équations. L. Saint-Raymond et Y. Colin de Verdière ont montré que cette perte de régularité typique de la turbulence peut aussi survenir avec une équation linéaire avec un opérateur de degré 0 dans le cadre des ondes internes. Avec L. Chevillard, R. Grande, I. Gallagher, C.-E. Bréhier et W. Ruffenach, nous avons construit une équation jouet linéaire qui, quand elle est excitée par une force stochastique statistiquement homogène, singe la phénoménologie de la cascade turbulente. Cette équation est, dans le domaine spatial de Fourier, une équation hyperbolique avec une condition au bord. Il est alors possible de mener des calculs heuristiques formels explicites. Dans le domaine physique, il s’agit d’une EDP stochastique avec un opérateur de degré 0. En temps long, la solution de notre équation linéaire converge vers un champ gaussien fractionnaire. La première partie de l’exposé se concentrera sur la présentation du cadre fonctionnel dans l’espace physique qui permet de rendre rigoureux les calculs heuristiques réalisés dans le domaine de Fourier. La seconde partie pourra, selon les désirs de l’auditoire, aussi bien traiter du schéma numérique permettant d’approcher la mesure invariante de l’équation que parler d’une application à l’océanographie ou des comparaisons avec le cas déterministe. Même si l’aléa joue un rôle primordial dans la modélisation, aucune expertise d’analyse stochastique ne sera nécessaire, les champs aléatoires étant ici pensés comme des distributions.