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Séminaire du LJLL
Jacek Jendrej (Université Sorbonne Paris Nord)
Les équations aux dérivées partielles dispersives sont des équations d’évolution (c’est-à-dire comportant la variable temporelle) dont les solutions préservent l’énergie, mais peuvent néanmoins décroître en temps long parce que les différentes fréquences se propagent avec des vitesses distinctes. Dans certains cas, il existe des solutions spéciales appelées « solitons » qui ne changent pas de forme au fil du temps. La conjecture de résolution en solitons prédit que les solitons sont le seul obstacle à la décroissance des solutions. Plus précisément, toute solution se décompose en une superposition de solitons et d’un terme évanescent appelé « radiation ».
Nous présenterons cette conjecture dans le contexte de l’équation des applications d’ondes critique, qui est l’analogue de l’équation des ondes pour les applications de R^2 dans S^2. Les solitons correspondent aux applications harmoniques, qui ont été classifiées par Eells et Wood en 1976. Nous considérons les solutions « équivariantes », qui sont des solutions ayant une certaine symétrie préservée par le flot. Dans un travail commun avec Andrew Lawrie, nous prouvons que la résolution en solitons est vraie pour ces solutions. Notre preuve repose sur une analyse des collisions de solitons, ainsi que sur une fonctionnelle de Lyapunov localisée appropriée, qui ensemble permettent de démontrer un lemme de non-retour pour les multi-solitons.
En nous appuyant sur certaines de ces idées, nous résolvons, dans un travail commun avec Andrew Lawrie et Wilhelm Schlag, un problème analogue pour le flot de la chaleur des applications harmoniques (introduit par Eells et Sampson en 1964), sans faire d’hypothèse de symétrie sur les données initiales.