coordinator: O. Ley INSA Rennes
This research project brings together mathematicians of different backgrounds to work on Hamilton-Jacobi equations on networks, and more generally on heterogeneous structures. This theoretical problem has several potential applications, in particular to traffic flow theory, which is much studied from the point of view of conservation laws, but very little from the viewpoint of HJ equations. Whereas discrete control problems on networks have been much studied in the literature, there is almost nothing written on the case when the running cost and the dynamics vary continuously with respect to time and state. The difficulty lies in the fact that, in a network, the set of admissible controls drastically changes from a point in the interior of an edge, where only one direction is admissible, to a vertex where the admissible directions are given by all the edges connected to it. Therefore, even if the data of the problem are regular, the corresponding Hamiltonian, when restricted to the network, has a discontinuous structure with respect to the space variable. This kind of discontinuity is at the cutting edge of the viscosity theory for HJ equations and most related problems are wide open.
coordinator: J.D. Benamou INRIA
L'utilisation d'équations aux dérivées partielles (PDE) en Economie et en Sciences Sociales est un champ de recherche relativement jeune.
Les théories du Transport Optimal* (OT) et des Jeux à Champs Moyens (MFG) ont, dans ce contexte, recu une attention soutenue.
La formulation "Dynamique des Fluides" (CFD) du Transport Optimal est fortement liées à la structure, plus générale, des équations MFG.
Les deux théories (OT et MFG) forment la base mathématique de notre proposition.
L'effort de recherche correspondant dans le domaine des méthodes numériques et des algorithmes reste dispersé et essentiellement
académique. Dans le même temps le nombre de problèmes de modélisation et questions d'analyses mathématiques et numériques augmentent
à un rythme rapide. La conception de solveurs efficaces est un obstacle qui, pour être surmonté, nécessite l'intervention combinée
de numériciens, de spécialistes de calcul scientifique ainsi que d'économistes et mathématiciens. La transition de ces modèles numériques vers des outils de simulation industriels sera difficile sans ces développements numériques et expérimentaux. La simulation numérique est également un
outils indispensable pour proposer et étudier de nouveaux modèles académiques.
Dans le but de combler le fossé existant entre théorie et simulations numérique, applications académiques et industrielles; nous proposons de réunir dans ce consortium des économistes, des mathématiciens appliqués et des spécialistes de calcul scientifique.
Nous entendons réaliser et livrer deux librairies de solveurs dédiées respectivement au MFG/OT dynamique et OT statique.
Les modèles de mouvement de foules avec congestions basés sur les MFG et le OT ont atteint un degré de maturité suffisant pour
pouvoir envisager de réaliser un logiciel multi-solveur/multi-modèles. Ceci constituera un test grandeur nature pour l'intégration des
librairies mentionnées précédemment. Les deux objectifs de ce logiciels sont de comparer/comprendre ces modèles innovants de congestion et de fournir un prototype à des collaborations industrielles**.
Dans une perspective différente, notre partenaire industriel ZELIADE va développer un
logiciel dédié aux bornes sur les prix de produits dérivés "model-free". Ceci en
collaboration avec la partie académique du consortium. Il s'agit dune application nouvelle du OT qui devrait avoir un impact
industriel direct en finance.
Dans une approche académique plus classique, nous attaquerons finalement plusieurs nouveaux modèles en économie où les
librairies de solveurs MFG et OT pourront servir de base à des simulations numériques, en particulier :
- De nombreux marchés sont des marchés de biens de qualités indivisibles : maison, travail, mariage ...
Du point de vue théorique la détermination des équilibres sur ces marchés est équivalente à un certain problème
OT (dans lequel le coût traduit les préférences des acheteurs et des vendeurs). Du point vue empirique ceci
permet de déduire des informations sur les préférences des appariements observes; il s'agit la d'un problème inverse.
- Le modèle principal-agent, central en économie, revient à minimiser un coût sous une contrainte d'incitation des agents.
Dans le cas simple d'une utilité bilinéaire, il s'agit de minimiser une fonctionnelle intégrale sous une contrainte de
convexité. Le OT a permis récemment d'identifier des conditions suffisantes d'unicité pour des utilités générales.
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* Aussi connu comme le problè me L2-Monge Kantorovich.
** La tâche de coordination inclut explicitement l'intention de nouer des contacts avec des programmes public/industriels.
Notre partenaire industriel MFGlabs sera également actif sur la valorisation de cette tâche.