Equations aux dérivées partielles

F. Bethuel Sorbonne Université

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Objectifs de l'UE :

Les équations aux dérivées partielles (EDP) apparaissent naturellement dans la modélisation de nombreux problèmes en physique, biologie économie ou ailleurs. Sur de nombreux points, elles semblent géneraliser au contexte multi-dimensionnel les équations différentielles ordinaires.

L’approche proposée dans la littérature mathématique peut cependant surprendre l’étudiant qui désire s’y initier : les méthodes d’inspiration très variées y abondent, le plus souvent adaptées à des cas particuliers, de sorte qu’il est difficile d’imaginer qu’une théorie unifiée puisse s’en dégager. Il faut admettre que ce sentiment de confusion correspond pour une certaine part à une réalité incontournable : les phénomènes modélisées sont par nature si différents qu’il est presque impensable de les faire entrer dans unemême et seule catégorie. Cependant, l’étudiant plus avancé dans leur étude (par exemple un étudiant en fin d’année de la spécialité) se rend vite compte que, dans l’univers infini de toutes les EDP imaginables, seuls un petit nombre retient vraiment notre attention, et qu’un nombre restreint de catégories d’EDP et de phénomènes apparaît. Chacune de ces catégories présente alors une unité propre. De manière peut-être surprenante, ces principales catégories étaient pour la plupart connues et étudiées depuis le XIXème siècle, voire avant. Diverses méthodes avaient alors étaient proposées, comme la méthode de séparation des variables ou la décomposition de Fourier, et des propriétés essentielles, comme le principe du maximum, identifiées. La théorie connut une véritable explosion au XXème siècle grâce à l’apport de l’analyse fonctionnelle. Ces diverses approches continuent de coexister et de se féconder dans les travaux modernes.

Le but de ces notes est de présenter de manière aussi concise que possible quelque types importants d’équations, et de voir comment les notions mentionnées précédemment apparaissent naturellement. Les questions fondamentales concernent, comme pour les équations aux différentielles ordinaires

• l’ existence de solution
• l’unicité des solutions

éventuellement en fonctions de données aux limites prescrites. Cependant, des questions nouvelles et propres aux EDP apparaissent aussi, comme la régularité des solutions. Comme pour les équations ordinaires voire encore beaucoup plus, des propriétes qualitatives, comme des bornes sur diverses quantités ponctuelles ou intégrales sont fondamentales. Ces dernières s’avèrent souvent cruciales pour établir l’existence même des solutions : c’est la méthode des estimations a priori. dans cette méthode, on commence par étudier les solutions, les résultats obtenus permettent parfois grâce à diverses techniques d’en déduire l’existence.

L’étude des EDP fait appel à presque toutes les branches de l’analyse. C’est pourquoi, nous effectuerons certains rappels dans des Appendices séparées, par exemple l’analyse vectorielle, la théorie de Fourier, ou la la théorie des équations différentielles ordinaires. Les principaux résulats d’analyse fonctionnelle que nous utiliserons seront rappelés, mais admis. Il font l’objet d’un autre des cours de base de cette spécialité. Nous étudierons deux grandes classes d’équations :

• les équations d’evolutions : le temps, qui est l’une des variables, joue un rôle particulier,
• les équations stationnaires,

qui sont parfois des états limites d’équations d’évolution.

Nous ferons ensuite la distinction, dans chacune des classes précédentes, entre

• les équations linéaires qui vérifient le principe de superposition et
• les équations non linéaires (qui ne le vérifient pas).

Le principe de superposition affirme que toute combinaison linéaire de ses solutions est également une solution. Lorsque l’équation vérifie un tel principe, on peut alors décomposer une solution en solution plus simple. C’est sur ce principe que repose la méthode des solutions fondamentales, qui même parfois à des formules explicites, rendant du coup leur étude plus aisée. Certaines de ces formules seont étudiées au cours d’exercices.