Réduction de dimension linéaire et nonlinéaire Applications aux EDP, problèmes inverses et science des données

Albert Cohen

Résumé :

L’approximation de fonctions par des espaces de faible dimension est au coeur de la simulation numérique des EDP, des problèmes inverses, et plus généralement des sciences des données. L’objectif de ce cours sera de décrire quelques outils et résultats fondamentaux autour des thèmes suivants :

1. Exemple de méthodes et    résultats d’approximation linéaire et non linéaire impliquant des    propriétés de régularité ou de parcimonie.
2. Approximation dans un dictionnaire, algorithmes greedy, application à l’approximation par les réseaux de neurones.
3. Approximation en grande dimension, anisotropie et polynômes parcimonieux, applications aux EDP elliptiques paramétrées.
4. Espaces optimaux: notion d’épaisseurs de Kolmogorov, POD et bases réduites, application aux EDP et problèmes inverses.
5. Reconstruction à partir de données ponctuelles, échantillonnage optimal.
6. Réduction de dimension non linéaire, épaisseurs non linéaire et entropies métriques.