Problèmes directs et inverses en dynamique des populations

Marie Doumic-Jauffret

Cours spécialisé, enseigné à l’Ecole Polytechnique.

Résumé :

L'objectif de ce cours est une introduction à certains modèles de population structurées, à leur analyse mathématique et aux méthodes de problèmes inverses utilisées pour confronter ces modèles à des données expérimentales. La question qui traverse le cours est celle de l'estimation des caractéristiques de croissance et de division d'une population. Deux applications en biologie seront abordées: la fragmentation des polymères de protéines et la croissance des populations bactériennes.

Nous donnons d'abord un aperçu général des modèles et de leurs domaines d'application, en détaillant la correspondance entre le point de vue de la population et les modèles individuels "microscopiques" (modélisés par des processus de branchement), ainsi que quelques méthodes pour leur analyse mathématique - existence, unicité, comportement en temps grand. Nous nous concentrons ensuite sur deux exemples de problèmes inverses, au travers desquels plusieurs méthodes de résolution - ainsi que le cadre général des problèmes inverses linéaire - seront abordées. Le premier est l'estimation du taux de division, le second est l'estimation conjointe du taux de fragmentation et du noyau de fragmentation dans un cadre de fragmentation pure. Tout ceci nous amène à la question du choix du modèle - qui peut être formulée comme suit : comment être certain de ce qui est la véritable variable "structurante" ? Il s'agit d'une question très naturelle puisque les modèles de population structurés sont souvent empiriques, de sorte que l'évaluation de leur validité sur la base de résultats quantitatifs représente un défi important pour la biologie mathématique. Dans chaque cas, l'application pratique à des données réelles suivra l'analyse mathématique des modèles et des méthodes.

Prérequis :

théorie de la mesure, espaces de Sobolev, formulation faible des EDP, bases de probabilités